『たまには違うお話でも（２）』：２０１６年８月
先月の例会で作ったイチゴジャム（ワンボードマイコン）。８月例会で動かすお約束ですが。。。
今回は、先月掲載した代数問題の解答編です。
皆さん、どこまでできました？（笑）
■問１
１１は３で割りきれません。
１１１は３で割り切れます。
１１１１は３で割りきれません。
（１−１）じゃあ。１２３は？ → 答え：割り切れます。
（１−２）１２３４５６７８９は９で割り切れる？ → 答え：割り切れます
■答１
（１−１）１２３を構成する１，２，３を足すと６になりますね。
６は３で割り切れますから１２３は３で割り切れます。
この足し算はぜひとも２秒以内にお願いします。
（１−２）１２３４５６７８９を構成する数字をすべて足すと４５になります。
４５は９で割り切れますから１２３４５６７８９は９で割り切れます。
この足し算もできれば３秒以内にお願いします。
■解説１
この問題は、構成する数字をいかに早く足し合わせるか、と言うポイントにつきます。
（１−２）では１から１０まで全部足すと５５と言う小学生時代の常識が役に立ちますね（笑）
さて解説です。
わかりやすくするために桁数を限定して説明します。
３桁の正の整数を考えましょう。これをａｂｃと表します。
例えば２５８ならば、ａ＝２、ｂ＝５、ｃ＝８となる塩梅です。
このａｂｃはバラして書くとこのような構成になります。
ａｂｃ＝１００×ａ ＋ １０×ｂ ＋ ｃ
＝（９９×ａ ＋ ９×ｂ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ）
＝９×｛（１１×ａ ＋ ｂ）｝＋（ａ＋ｂ＋ｃ）
この式を評価すると、前半のカッコ部分｛｝は必ず９で割り切れることがわかりますね。ということは３でも割り切れる訳です。
後半のカッコ部分（）は問題にもなっている、構成する数字の和です。
ということは、後半のカッコ部分（）が３で割り切れれば、前半のカッコ部分｛｝は既に３で割り切れますから、正の整数ａｂｃは３で割り切れます。
これは桁数をどれだけ多くしても同じ趣旨の式を導くことができます。数学的帰納法（はメンドウですが）で証明もできます。メンドウなので割愛（笑）
■問２ 奇数数列の和
１ ３ ５ ７ ９ １１ １３ １５ １７ １９ ２１ ２３ ２５ ２７ ２９ ３１・・・・・・
奇数の並びです。上に何番目と言うインデックスを振っておきましょう。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６
１ ３ ５ ７ ９ １１ １３ １５ １７ １９ ２１ ２３ ２５ ２７ ２９ ３１・・・・・・
これを踏まえて。問題です。
（２−１）１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＝いくつ？ → １００です。
（２−２）１から３１までの奇数を足すといくつ？ → ２５６です
■答２
せっかくインデックスを振ってありますので、それを見ましょう。
（１−１）は１〜１９までの奇数の和です。１９は１０番目の数字です。したがって１０の二乗で１００が答えになります。
（１−２）は１〜３１までの奇数の和です。３１は１６番目の数字です。したがって１６の二乗で２５６が答えになります。
■解説２
一般に奇数は次式で表すことができます。
ｋを正の整数（ｋ≧１）とすると、
ａ（ｋ）＝２ｋ−１ （ｋ＝１，２，３，・・・・）
このとき、奇数数列の和Ｓ（ｎ）は
ｎ
Ｓ（ｎ）＝Σ ａ（ｋ）
ｋ＝１
で表せます。あとはこれを展開するだけ。ですが、式を清書すると書きづらいので、応募されてきた方に送った回答例の写真で代用します。
つまりですね。目的となる最終項が何番目のものか、それだけわかれば奇数数列の和は暗算で出る訳です。
まあ。こんなことばっかり考えていた小学校５年生の頃。やっぱりヘンですかね？（笑）
このネタ、結構書いてて面白いので、またちょくちょくやりたいと思います。
気が向いたらお付き合い下さい。（笑）
ではまた来月〜
今月の脚注： 来月は国語の問題でも（笑）
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